Главная

Статьи

Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень)

  1. Рішення задачі 19 з профільного ЄДІ з математики під літерою А
  2. Відповідь на питання під літерою Б з завдання 19 ЄДІ з математики (профільний рівень)
  3. Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) під літерою В

У даній статті мова піде про рішення задачі 19 з варіанту дострокового профільного ЄДІ з математики, що пропонувався для вирішення школярам в 2016 році У даній статті мова піде про рішення задачі 19 з варіанту дострокового профільного ЄДІ з математики, що пропонувався для вирішення школярам в 2016 році. Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) традиційно викликає найбільші труднощі у випускників, адже це остання, а тому зазвичай найскладніше завдання з іспиту. Принаймні, таке враження часто складається в умах школярів, які готуються до ЄДІ. Але насправді нічого дуже складного в цих завданнях немає. Подивіться, наприклад, як легко вирішується наступне завдання 19 з профільного ЄДІ з математики.

Нехай безліч називається хорошим, якщо існує можливість розбити це безліч на дві підмножини, суми елементів в яких однакові.

а) чи є хорошим безліч {200; 201; 202; ...; 299}?

б) чи є хорошим безліч {2; 4; 8; ...; 2100}?

в) яке число хороших четирёхелементних підмножин у безлічі

{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Чи не дивуйтеся терміна «хороше» безліч. Це типово для укладачів варіантів ЄДІ з математики. Коли не вистачає слів, доводиться використовувати слова не по їх прямому призначенню.

Рішення задачі 19 з профільного ЄДІ з математики під літерою А

Перейдемо до вирішення. Відповідаємо на запитання під літерою А. Є записане безліч хорошим? Припустимо, що так. Якщо це дійсно так, то це найпростіший випадок для нас. Адже в цьому випадку потрібно лише навести приклад розбиття цієї множини на два безлічі, суми елементів яких однакові. В іншому випадку довелося б доводити принципову неможливість потрібного розбиття. А це вже набагато складніше. Ну а оскільки це лише завдання під літерою А, можна сподіватися, що воно досить просте. Отже, спробуємо розбити наше безліч на дві підмножини, суми елементів в яких будуть однакові.

На щастя, щоб це зробити, не потрібно бути Ейнштейном. Беремо найочевидніше і інтуїтивне рішення. Групуємо елементи початкової множини в пари: перший з останнім, другий з передостаннім і так далі:

Групуємо елементи початкової множини в пари: перший з останнім, другий з передостаннім і так далі:

Остання парочка буде складатися з двох чисел: 249 і 250. Всього таких парочок вийде 50. Сума чисел в кожній парочці дорівнює 499. А далі беріть будь-які 25 парочок на початку безліч, інші 25 - у другу безліч, і отримаєте необхідну розбиття. Отже, відповідь на питання під літерою А - так!

Відповідь на питання під літерою Б з завдання 19 ЄДІ з математики (профільний рівень)

Переходимо до питання під літерою Б. Завдання те ж саме, тільки безліч іншого. Тому здається, що автори-упорядники мали тут проявити оригінальність. Так що, швидше за все, це безліч вже не буде хорошим. Якщо це так, то просто прикладом в даному випадку обмежитися не вийде, доведеться все доводити. Ну що ж, спробуємо.

Взагалі кажучи, якщо вдуматися в завдання, то рішення приходить само собою. Нам потрібно розбити дане безліч на дві підмножини, суми елементів в кожному з яких дорівнюють. Ну і, загалом, тут не потрібно бути Стівіном Хокінг, щоб зрозуміти, що ключ до вирішення в тому, щоб знайти, чому повинні бути рівні ці суми! А для цього потрібно порахувати суму елементів нашого вихідного безлічі.

Подивіться уважно. Перед нами класична геометрична прогресія зі знаменником, першим членом і елементами. Сума всіх елементів такої прогресії визначається за відомою формулою:

Це означає, що якщо б ми розбили наш безліч на дві підмножини з однаковою сумою елементів в кожному з них, то ця сума виявилася б рівною. А це непарне число! Але ж всі елементи нашого безлічі - це ступеня двійки, тобто числа безумовно парні. Питання. Чи може вийти непарне число, якщо складати парні числа? Звичайно, ні. Тобто ми довели неможливість такого розбиття. Отже, відповідь на питання під літерою Б з рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) - немає!

Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) під літерою В

Ну і нарешті, переходимо до питання під літерою В. Скільки ж четирёхелементних хороших безлічі міститься в множині {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Так ... Тут вже доведеться задуматися більш серйозно. Ну звичайно! Адже це останнє, як кажуть деякі відеоблогери, саме жорстке завдання в профільному ЄДІ з математики. Так як же його вирішити?

Чи доводилося вам коли-небудь чути про усвідомлене переборі? Цей метод застосовується тоді, коли можливих варіант не дуже багато. Але при цьому варіанти перебираються не абияк, а в певній послідовності. Це потрібно для того, щоб не випустити з уваги жодного можливого варіанту. Плюс, по можливості, при переборі виключаються з розгляду неможливі варіанти. Отже, як же нам звести це завдання до усвідомленого перебору?

Введемо фільтр, що обмежує перебір:

  • Зауважимо відразу, що суми шуканих хороших четирёхелементних підмножин повинні бути парними, інакше їх не можна розбити на підмножини з однаковими сумами елементами. При цьому мінімально можлива сума дорівнює 1 + 2 + 4 + 5 = 12, а максимально можлива сума дорівнює 5 + 7 + 9 + 11 = 32. Таких сум 11 штук.
  • Приймемо також до уваги, що парні числа 2 і 4 повинні або одночасно входити в хороше четирёхелементное безліч, або одночасно не входити в нього. В іншому випадку тільки одне з чисел четирёхелементного безлічі парне, тому сума елементів такого множини не буде парною.
  • Оскільки порядок розташування елементів у шуканих хороших четирёхелементних множини не важливий, домовимося, що елементи в цих множинах будуть у нас розташовані по зростанню.

Розглядаємо всі можливі суми:

  1. Сума 12: {1; 2; 4; 5}.
  2. Сума 14: {1; 2; 4; 7}.
  3. Сума 16: немає варіантів.
  4. Сума 18: {2; 4; 5; 7}.
  5. Сума 20: немає варіантів.
  6. Сума 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
  7. Сума 24: {1; 5; 7; 11}.
  8. Сума 26: {2; 4; 9; 11}.
  9. Сума 28: немає варіантів.
  10. Сума 30: немає варіантів.
  11. Сума 32: {5; 7; 9; 11}.

Ось і вийшло у нас всього 8 множин. Інших варіантів немає. Тобто відповідь до завдання під літерою В - 8.

Ось таке рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень). Для тих, хто тільки починає готуватися до здачі профільного ЄДІ з математики, воно можна здатися складним. Але насправді для вирішення таких завдань потрібно використання одних і тих же способів і прийомів. Потрібно тільки опанувати ними, і всі ці завдання будуть здаватися вам простими, і ви їх вирішите на іспиті без всяких проблем. Я вас міг цього навчити. Детальну інформацію про мене і моїх заняттях ви можете знайти на цій сторінці .

матеріал підготував репетитор з математики і фізики , Сергій Валерійович

Якщо вам сподобалася стаття, можливо, вам також буде цікава наступна:

Є записане безліч хорошим?
Чи може вийти непарне число, якщо складати парні числа?
Скільки ж четирёхелементних хороших безлічі міститься в множині {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?
Так як же його вирішити?
Чи доводилося вам коли-небудь чути про усвідомлене переборі?
Отже, як же нам звести це завдання до усвідомленого перебору?

Новости

Увлекательные походы в Карпаты.

Наконец-то, пришло тепло, солнышко с каждым днем пригревает сильнее, зацвели сады и, природа манит своими красотами в поход. Что может быть лучше, чем пеший поход по родному краю? Ведь, это одновременно

Поход на вулкан Немрут Даг

Как давно вам не приходилось испытывать острых ощущений? Можно смело предположить, что очень давно. К сожалению или к счастью, но наш мир давно уже не такой, каким был раньше. Он стал намного тише

Антикварный магазин Домовой
В вашем доме есть домовой? Этакое противоречивое и непредсказуемое существо, которое разбрасывает и прячет вещи, топает по ночам и в то же время оберегает домашний очаг и всю семью. . . Кто же такой

Хуэй Чжун Дан
На просторах интернета мы нашли интересный сайт, который предлагает китайские шарики для усиления мужской силы. Ради интереса мы зашли на этот сайт Хуэй Чжун Дан. Сразу на первой странице Вы видите

Капсулы для похудения Лишоу
В наше время, наверное, каждый стремится выглядеть действительно красиво и привлекательно. И в первую очередь все мы бы хотели, что бы наша фигура была идеальной. Но нам из-за отсутствия времени очень

Регата Marmaris Race Week
5  мая 2018 года у  юго-западных берегов Турции стартует традиционная майская « Русская парусная неделя  Volvo» . В  этот раз крупнейшее российское яхтенное соревнование

Дешевая аптека в Ромнах
Добрый день, хотелось бы рассказать вам дорогие друзья про одно место, где вы можете приобрести очень качественные лекарства. Речь пойдет об аптеке, то есть, если вы любитель конкретики, то сеть аптек

Упражнения по арт терапии
Особенности арт-терапевтической сессии: • Доверие (открытость, знакомство с группой, интерес к себе и другим). • Концентрация (привлечение внимания к другим и себе, концентрация на чувствах,

Купить диван в Киеве недорого
Благодаря неустанным стараниям воровской власти нашей страны, уровень жизни населения стремительно падает. Но всем хочется позволить себе маленькие радости, в том числе и в вопросах обновления интерьера.

Домашние тараканы фото
Обычно, таракан – это нежеланный гость. С собой он приносит массу заморочек, потому что является разносчиком зараз, а избавиться от бессчетных колоний достаточно проблематично. Но если вы будет знать,