Главная

Статьи

Функція (математика)

  1. Поняття функції [ правити | правити код ]
  2. Теоретико-множинне визначення [ правити | правити код ]
  3. Функції декількох аргументів [ правити | правити код ]
  4. Аналітичний спосіб [ правити | правити код ]
  5. Графічний спосіб [ правити | правити код ]
  6. Звуження і продовження функції [ правити | правити код ]
  7. Образ і прообраз (при відображенні) [ правити | правити код ]
  8. Тотожне відображення [ правити | правити код ]
  9. Композиція відображень [ правити | правити код ]
  10. Зворотне відображення [ правити | правити код ]
  11. Властивості образів і прообразів [ правити | правити код ]
  12. Властивості прообразів [ правити | правити код ]
  13. Поведінка функцій [ правити | правити код ]
  14. ін'єкційних [ правити | правити код ]
  15. биективное [ правити | правити код ]
  16. Зростання і спадання [ правити | правити код ]
  17. періодичність [ правити | правити код ]
  18. парність [ правити | правити код ]
  19. Екстремуми функції [ правити | правити код ]
  20. Частково певні функції [ правити | правити код ]
  21. Багатозначні функції [ правити | правити код ]

Цей термін має також інші значення див. функція .

Функція (відображення, оператор, перетворення) - в математики відповідність між елементами двох множин , Встановлене за таким правилом, що кожному елементу однієї множини ставиться у відповідність деякий елемент з іншої множини.

Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення про те, як одна величина повністю визначає значення іншої величини. Так, значення змінної x {\ displaystyle x} Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення про те, як одна   величина   повністю визначає значення іншої величини однозначно визначає значення виразу x 2 {\ displaystyle x ^ {2}} , Також значення місяці однозначно визначає значення наступного за ним місяця. Інший приклад функції: кожній людині можна однозначно поставити у відповідність його біологічну матір.

Аналогічно, задуманий заздалегідь алгоритм за значенням вхідного даного видає значення вихідного даного.

Часто під терміном «функція» розуміється числова функція , Тобто функція, яка ставить одні числа у відповідність іншим. Ці функції зручно представляти у вигляді графіків .

Термін «функція» (в деякому більш вузькому сенсі) був вперше використаний Лейбніцем (1692 рік). В свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до того ж Лейбніца вжив цей термін в сенсі, більш близькому до сучасного [1] [2] .

Спочатку поняття функції було неможливо відрізнити від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751 рік), потім - у Лакруа (1806 рік), - вже практично в сучасному вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (в сучасній формі, але для числових функцій) було дано Лобачевским (1834 рік) і Діріхле (1837 рік) [3] .

До кінця XIX століття поняття функції переросло рамки числових систем. Спочатку поняття функції було поширене на векторні функції , незабаром Фреге ввів логічні функції ( 1879 ), А після появи теорії множин Дедекинд ( 1887 ) і Пеано ( 1911 ) Сформулювали сучасне універсальне визначення [2] .

Найбільш суворим є теоретико-множинне визначення функції (на основі поняття бінарного відносини ). Часто замість визначення функції дається поняття функції, тобто опис математичного об'єкта за допомогою понять звичайного мови, таких як «закон», «правило» або «відповідність».

Поняття функції [ правити | правити код ]

Кажуть, що на безлічі X {\ displaystyle X} Кажуть, що на безлічі X {\ displaystyle X}   є функція (відображення, операція, оператор) f {\ displaystyle f}   зі значеннями з безлічі Y {\ displaystyle Y}   , Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x}   з безлічі X {\ displaystyle X}   за правилом f {\ displaystyle f}   поставлений у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y}   з безлічі Y {\ displaystyle Y}   [1] є функція (відображення, операція, оператор) f {\ displaystyle f} зі значеннями з безлічі Y {\ displaystyle Y} , Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x} з безлічі X {\ displaystyle X} за правилом f {\ displaystyle f} поставлений у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y} з безлічі Y {\ displaystyle Y} [1] .

Кажуть також, що функція f {\ displaystyle f} Кажуть також, що функція f {\ displaystyle f}   відображає безліч X {\ displaystyle X}   в безліч Y {\ displaystyle Y} відображає безліч X {\ displaystyle X} в безліч Y {\ displaystyle Y} . Функцію позначають також записом y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} .

Якщо використовується термін оператор , То говорять, що оператор f {\ displaystyle f} Якщо використовується термін   оператор   , То говорять, що оператор f {\ displaystyle f}   діє з безлічі X {\ displaystyle X}   в безліч Y {\ displaystyle Y}   і додають запис y = f x {\ displaystyle y = fx} діє з безлічі X {\ displaystyle X} в безліч Y {\ displaystyle Y} і додають запис y = f x {\ displaystyle y = fx} .

Якщо хочуть підкреслити, що правило відповідності вважається відомим, то кажуть, що на множині X {\ displaystyle X} Якщо хочуть підкреслити, що правило відповідності вважається відомим, то кажуть, що на множині X {\ displaystyle X}   задана функція f {\ displaystyle f}   , Що приймає значення з Y {\ displaystyle Y} задана функція f {\ displaystyle f} , Що приймає значення з Y {\ displaystyle Y} . Якщо функція f {\ displaystyle f} повинна знаходитися в результаті рішення якого-небудь рівняння, то кажуть, що f {\ displaystyle f} - невідома або неявно задана функція. Але в будь-якому випадку, функція, за змістом цього поняття, вважається заданою, хоча і побічно.

Зауважимо, що в формулюванні поняття функції вимога відповідності "за правилом" є повтором, оскільки воно міститься в понятті однозначної відповідності. Формулювання поняття функції без поняття правило і необхідності його позначати:

Кажуть, що на безлічі X {\ displaystyle X} Кажуть, що на безлічі X {\ displaystyle X}   задана функція f {\ displaystyle f}   , Що приймає значення з Y {\ displaystyle Y}   , Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x}   з безлічі X {\ displaystyle X}   поставлений у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y}   з безлічі Y {\ displaystyle Y}   [4] задана функція f {\ displaystyle f} , Що приймає значення з Y {\ displaystyle Y} , Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x} з безлічі X {\ displaystyle X} поставлений у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y} з безлічі Y {\ displaystyle Y} [4] .

Наприклад, функція, задана на X {\ displaystyle X} Наприклад, функція, задана на X {\ displaystyle X}   таблицею пар елементів x {\ displaystyle x}   і y {\ displaystyle y}   , Містить і правило відповідності для кожного елемента з X {\ displaystyle X}   , Оскільки значення функції при переході від елемента до елементу множини X {\ displaystyle X}   розташовуються по цілком певним правилом таблицею пар елементів x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} , Містить і правило відповідності для кожного елемента з X {\ displaystyle X} , Оскільки значення функції при переході від елемента до елементу множини X {\ displaystyle X} розташовуються по цілком певним правилом.

Для числових функцій, часто задаються формулами, поняття функції формулюється як відповідність між елементами множин за допомогою правила. Правило, не позначається, щоб уникнути збігу позначень правила і функції:

Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x} Якщо кожному елементу x {\ displaystyle x}   з безлічі X {\ displaystyle X}   з якого-небудь правилом ставиться у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y}   з безлічі Y {\ displaystyle Y}   , То вказане відповідність називається функцією y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}   , Заданої на множині X {\ displaystyle X}   зі значеннями з Y {\ displaystyle Y}   [3]   [5] з безлічі X {\ displaystyle X} з якого-небудь правилом ставиться у відповідність певний елемент y {\ displaystyle y} з безлічі Y {\ displaystyle Y} , То вказане відповідність називається функцією y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} , Заданої на множині X {\ displaystyle X} зі значеннями з Y {\ displaystyle Y} [3] [5] .

Буква f {\ displaystyle f} Буква f {\ displaystyle f}   в цьому позначенні - індивідуальний знак функції в цьому позначенні - індивідуальний знак функції.

Отже, функція y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} Отже, функція y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}   (або коротко: функція f (x) {\ displaystyle f (x)}   або f {\ displaystyle f}   ) Являє собою трійку об'єктів: X, f, Y {\ displaystyle X, f, Y}   , де (або коротко: функція f (x) {\ displaystyle f (x)} або f {\ displaystyle f} ) Являє собою трійку об'єктів: X, f, Y {\ displaystyle X, f, Y} , де

Позначений буквою x {\ displaystyle x} Позначений буквою x {\ displaystyle x}   кожен елемент безлічі X {\ displaystyle X}   називається незалежної   змінної   або аргументом функції кожен елемент безлічі X {\ displaystyle X} називається незалежної змінної або аргументом функції. Безліч X {\ displaystyle X} при цьому називається областю зміни змінної x {\ displaystyle x} .

Елемент y {\ displaystyle y} Елемент y {\ displaystyle y}   , Відповідний фіксованому елементу x {\ displaystyle x}   називається приватним значенням функції в точці x {\ displaystyle x} , Відповідний фіксованому елементу x {\ displaystyle x} називається приватним значенням функції в точці x {\ displaystyle x} .

Сукупність усіх приватних значень y {\ displaystyle y} Сукупність усіх приватних значень y {\ displaystyle y}   , Що позначається символом {y} {\ displaystyle \ {y \}}   , називається   безліччю значень   функції , Що позначається символом {y} {\ displaystyle \ {y \}} , називається безліччю значень функції.

Теоретико-множинне визначення [ правити | правити код ]

поняття множини упорядкованих пар ( відносини ) Дозволяє виключити з формулювання поняття функції не тільки поняття правило, а й поняття відповідність, до якого зводиться поняття функції в звичайних формулюваннях попереднього підрозділу.

Таким чином, для функції можна сформулювати визначення, що використовує тільки початкові математичні поняття:

Функцією f {\ displaystyle f} Функцією f {\ displaystyle f}   називається безліч впорядкованих пар (x, y) ∈ X × Y {\ displaystyle (x, y) \ in X \ times Y}   , Таких, що пари існують для всіх елементів множини X {\ displaystyle X}   , І, якщо перші елементи пар збігаються, то збігаються і другі їх елементи   [1] називається безліч впорядкованих пар (x, y) ∈ X × Y {\ displaystyle (x, y) \ in X \ times Y} , Таких, що пари існують для всіх елементів множини X {\ displaystyle X} , І, якщо перші елементи пар збігаються, то збігаються і другі їх елементи [1] .

При цьому:

Функції f {\ displaystyle f} Функції f {\ displaystyle f}   і g {\ displaystyle g}   називаються рівними, якщо їх графіки збігаються   [6] і g {\ displaystyle g} називаються рівними, якщо їх графіки збігаються [6] .

Оскільки рівність функцій (в будь-якому формулюванні поняття функції) включає в себе не тільки збіг правил відповідності між елементами множин, але і збіг областей завдання, то функції f 1 (x) = x: R → R {\ displaystyle f_ {1} (x ) = x: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} Оскільки рівність функцій (в будь-якому формулюванні поняття функції) включає в себе не тільки збіг правил відповідності між елементами множин, але і збіг областей завдання, то функції f 1 (x) = x: R → R {\ displaystyle f_ {1} (x ) = x: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}   і f 2 (x) = x: R + → R {\ displaystyle f_ {2} (x) = x: \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}   , Де R {\ displaystyle \ mathbb {R}}   - безліч дійсних чисел, а R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}   - безліч позитивних дійсних чисел, є різними функціями і f 2 (x) = x: R + → R {\ displaystyle f_ {2} (x) = x: \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}} , Де R {\ displaystyle \ mathbb {R}} - безліч дійсних чисел, а R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}} - безліч позитивних дійсних чисел, є різними функціями.

Більш загальним, що включає в себе не тільки однозначні функції, є наступне визначення функції:

Функцією f {\ displaystyle f} Функцією f {\ displaystyle f}   називається будь-яка множина впорядкованих пар (x, y) ∈ X × Y {\ displaystyle (x, y) \ in X \ times Y}   [1]   [   немає в джерелі   ] називається будь-яка множина впорядкованих пар (x, y) ∈ X × Y {\ displaystyle (x, y) \ in X \ times Y} [1] [ немає в джерелі ].

При цьому:

Якщо на множині X {\ displaystyle X} Якщо на множині X {\ displaystyle X}   задана функція f {\ displaystyle f}   , Що приймає значення з безлічі Y {\ displaystyle Y}   , то задана функція f {\ displaystyle f} , Що приймає значення з безлічі Y {\ displaystyle Y} , то

  • цей факт записують у вигляді f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} або X ⟶ f Y {\ displaystyle X {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} Y} ;
  • безліч X {\ displaystyle X} - область завдання функції f {\ displaystyle f} - позначається символом D (f) {\ displaystyle D (f)} або d o m f; {\ Displaystyle \ mathrm {dom} \, f;}
  • безліч Y {\ displaystyle Y} - область значень [3] функції f {\ displaystyle f} ;
  • безліч значень {y} {\ displaystyle \ {y \}} функції f {\ displaystyle f} позначається символом E (f) {\ displaystyle E (f)} або c o d f {\ displaystyle \ mathrm {cod} \, f} (R a n f {\ displaystyle \ mathrm {ran} \, f} ).
  • Якщо область значень Y {\ displaystyle Y} і безліч значень E (f) {\ displaystyle E (f)} збігаються, то кажуть, що f {\ displaystyle f} відображає безліч X {\ displaystyle X} на Y {\ displaystyle Y} .
  • Функція, задана на безлічі X {\ displaystyle X} , Найбільш часто позначається як відповідність між елементами x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} і y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y} : Y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} , Або коротко: f (x) {\ displaystyle f (x)} або f {\ displaystyle f} ; x ↦ y {\ textstyle x \ mapsto y} або x ↦ f (x) {\ displaystyle x \ mapsto f (x)} ;
  • для скорочення числа позначень знак функції, заданої на множині X {\ displaystyle X} , Може позначатися тієї ж буквою, що і кожне значення функції: y = y (x) {\ displaystyle y = y (x)} , Z = z (x) {\ displaystyle z = z (x)} ;
  • функція позначається і як функція f {\ displaystyle f} , Яка відображає безліч X {\ displaystyle X} в Y {\ displaystyle Y} з позначенням відповідності між елементами x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} і y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y} : F: x ↦ y {\ displaystyle f \ colon x \ mapsto y} або f: y = f (x) {\ displaystyle f \ colon y = f (x)} ;
  • рідше використовується позначення функції як відповідність між елементами x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} і y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y} без дужок: y = f x {\ displaystyle y = fx} , Y = f ∘ x {\ displaystyle y = f \ circ x} або y = x f {\ displaystyle y = xf} ,
  • а там, де необхідно підкреслити подвійність, використовуються позначення з дужками: y = (f, x) {\ displaystyle y = (f, x)} або y = (x, f) {\ displaystyle y = (x, f)} ;
  • також існує і операторний позначення y = x f {\ displaystyle y = x ^ {f}} , Яке можна зустріти в загальної алгебри .
  • В лямбда-численні Черча використовується позначення λ x. y {\ displaystyle \ lambda xy} .

Функції декількох аргументів [ правити | правити код ]

Поняття функції легко узагальнюється на випадок функції багатьох аргументів.

Якщо безліч X {\ displaystyle X} Якщо безліч X {\ displaystyle X}   являє собою   декартовій твір   множин X 1, X 2, являє собою декартовій твір множин X 1, X 2, ..., X n {\ displaystyle X_ {1}, \; X_ {2}, \; \ ldots, \; X_ {n}} , Тоді відображення f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} , Де Y {\ displaystyle Y} - безліч дійсних чисел, виявляється n {\ displaystyle n} -місцевим відображенням, при цьому елементи впорядкованого набору x = (x 1, x 2, ..., xn) {\ displaystyle x = (x_ {1}, \; x_ {2}, \; \ ldots, \; x_ {n })} називаються аргументами (даної n {\ displaystyle n} -Місцеві функції), кожен з яких пробігає своє безліч:

x i ∈ X i {\ displaystyle x_ {i} \ in X_ {i}} x i ∈ X i {\ displaystyle x_ {i} \ in X_ {i}}   де i = 1, n ¯ {\ displaystyle i = {\ overline {1, n}}} де i = 1, n ¯ {\ displaystyle i = {\ overline {1, n}}} .

У цьому випадку запис y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} У цьому випадку запис y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}   означає, що y = f (x 1, x 2, означає, що y = f (x 1, x 2, ..., x n) {\ displaystyle y = f (x_ {1}, \; x_ {2}, \; \ ldots, \; x_ {n})} .

Аналітичний спосіб [ правити | правити код ]

Функцію можна задати за допомогою аналітичного виразу (наприклад, формулою). У цьому випадку її позначають як відповідність в формі рівності записом y = f (x), {\ displaystyle y = f (x),} Функцію можна задати за допомогою аналітичного виразу (наприклад, формулою) де x {\ displaystyle x} є змінна, що пробігає область завдання функції, а відповідні значення змінної y {\ displaystyle y} (Або, що те ж саме, значення виразу f (x) {\ displaystyle f (x)} ) Належать області значень функції. Наприклад, рівність y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2}} , Де x {\ displaystyle x} пробігає безліч дійсних чисел, задає числову функцію y = f (x). {\ Displaystyle y = f (x). \;}

Само по собі рівність y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} Само по собі рівність y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}   , Без вказівки що це функція, задана на деякій множині, функцією не є , Без вказівки що це функція, задана на деякій множині, функцією не є.

Наприклад, y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2}} Наприклад, y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2}}   є рівність виразів, що містять різні змінні є рівність виразів, що містять різні змінні. Аналогічно, якщо f (x) {\ displaystyle f (x)} є іншим позначенням змінної y {\ displaystyle y} , То f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}} також є рівність виразів, що містять різні змінні. Якщо ж в рівність f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}} зліва стоїть позначення виразу, що містить змінну x {\ displaystyle x} , То є рівність двох виразів, що містять одну змінну.

Однак висловлювання функція y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2} \;} Однак висловлювання функція y = x 2 {\ displaystyle y = x ^ {2} \;}   (або функція f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}   ) На безлічі завдання позначає відповідність елементів двох множин (або функція f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}} ) На безлічі завдання позначає відповідність елементів двох множин. Більш того, часто функцію x ↦ f (x) {\ displaystyle x \ mapsto f (x)} (Або y = f (x) {\ displaystyle y = f (x) \;} ) Для стислості позначають як функцію f (x) {\ displaystyle f (x)} на безлічі завдання. Ця угода є зручним і виправданим.

Графічний спосіб [ правити | правити код ]

Числові функції можна також задавати за допомогою графіка. Нехай y = f (x 1, x 2, ..., x n) {\ displaystyle y = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \;} Числові функції можна також задавати за допомогою графіка - речова функція n змінних. Тоді її графіком є ​​безліч точок в n + 1 {\ displaystyle n + 1} вимірному просторі: {(x 1, x 2, ..., xn, f (x 1, x 2, ..., xn)} {\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ { n}, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \}} . Це безліч точок, часто є поверхнею . Зокрема при n = 1 {\ displaystyle n = 1} , Графік функції в деяких випадках може бути зображений кривої в двовимірному просторі.

Для функцій трьох і більше аргументів таке графічне представлення не застосовується. Однак, і для таких функцій можна придумати наочне полугеометріческое уявлення (наприклад кожному значенню четвертої координати точки зіставити деякий колір на графіку).

Звуження і продовження функції [ правити | правити код ]

Нехай дано відображення f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} Нехай дано відображення f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y}   і M ⊂ X {\ displaystyle M \ subset X} і M ⊂ X {\ displaystyle M \ subset X} .

Відображення g: M → Y {\ displaystyle g \ colon M \ to Y} Відображення g: M → Y {\ displaystyle g \ colon M \ to Y}   , Яке приймає на M {\ displaystyle M}   ті ж значення, що і функція f {\ displaystyle f}   , Називається звуженням (або, інакше обмеженням) функції f {\ displaystyle f}   на безліч M {\ displaystyle M} , Яке приймає на M {\ displaystyle M} ті ж значення, що і функція f {\ displaystyle f} , Називається звуженням (або, інакше обмеженням) функції f {\ displaystyle f} на безліч M {\ displaystyle M} .

Звуження функції f {\ displaystyle f} Звуження функції f {\ displaystyle f}   на безліч M {\ displaystyle M}   позначається як f |  M {\ displaystyle f {\ big |} _ {M}} на безліч M {\ displaystyle M} позначається як f | M {\ displaystyle f {\ big |} _ {M}} .

Якщо функція g: M → Y {\ displaystyle g \ colon M \ to Y} Якщо функція g: M → Y {\ displaystyle g \ colon M \ to Y}   така, що вона є звуженням для деякої функції f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y}   , То функція f {\ displaystyle f}   , В свою чергу, називається продовженням функції g {\ displaystyle g}   на безліч X {\ displaystyle X} така, що вона є звуженням для деякої функції f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} , То функція f {\ displaystyle f} , В свою чергу, називається продовженням функції g {\ displaystyle g} на безліч X {\ displaystyle X} .

Образ і прообраз (при відображенні) [ правити | правити код ]

Елемент y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} Елемент y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)}   , Який зіставлений елементу x {\ displaystyle x}   , Називається чином елемента (точки) x {\ displaystyle x}   (При відображенні f {\ displaystyle f}   ) , Який зіставлений елементу x {\ displaystyle x} , Називається чином елемента (точки) x {\ displaystyle x} (При відображенні f {\ displaystyle f} ).

Якщо взяти цілком підмножина A {\ displaystyle A} Якщо взяти цілком підмножина A {\ displaystyle A}   області завдання функції f {\ displaystyle f}   , То можна розглянути сукупність образів всіх елементів множини A {\ displaystyle A}   , А саме підмножина області значень (функції f {\ displaystyle f}   ) виду області завдання функції f {\ displaystyle f} , То можна розглянути сукупність образів всіх елементів множини A {\ displaystyle A} , А саме підмножина області значень (функції f {\ displaystyle f} ) виду

f (A): = {f (x): x ∈ A} {\ displaystyle f (A): = \ {f (x) \ colon x \ in A \}} f (A): = {f (x): x ∈ A} {\ displaystyle f (A): = \ {f (x) \ colon x \ in A \}}   , ,

яке, називається чином безлічі A {\ displaystyle A} яке, називається чином безлічі A {\ displaystyle A}   при відображенні f {\ displaystyle f} при відображенні f {\ displaystyle f} . Це безліч іноді позначається як f [A] {\ displaystyle f [A]} або A f {\ displaystyle A ^ {f}} .

Навпаки, взявши деяку підмножину B {\ displaystyle B} Навпаки, взявши деяку підмножину B {\ displaystyle B}   в області значень функції f {\ displaystyle f}   , Можна розглянути сукупність тих елементів області завдання функції f {\ displaystyle f}   , Чиї образи потрапляють в безліч B {\ displaystyle B}   , А саме - безліч виду в області значень функції f {\ displaystyle f} , Можна розглянути сукупність тих елементів області завдання функції f {\ displaystyle f} , Чиї образи потрапляють в безліч B {\ displaystyle B} , А саме - безліч виду

f - 1 (B): = {x: f (x) ∈ B} {\ displaystyle f ^ {- 1} (B): = \ {x \ colon f (x) \ in B \}} f - 1 (B): = {x: f (x) ∈ B} {\ displaystyle f ^ {- 1} (B): = \ {x \ colon f (x) \ in B \}}   , ,

яке називається (повним) прообразом безлічі B {\ displaystyle B} яке називається (повним) прообразом безлічі B {\ displaystyle B}   (При відображенні f {\ displaystyle f}   ) (При відображенні f {\ displaystyle f} ).

У тому окремому випадку, коли безліч B {\ displaystyle B} У тому окремому випадку, коли безліч B {\ displaystyle B}   складається з одного елемента, скажімо, B = {y} {\ displaystyle B = \ {y \}}   , Безліч f - 1 ({y}) = {x: f (x) = y} {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \}) = \ {x \ colon f (x) = y \ }}   має більш просте позначення f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)} складається з одного елемента, скажімо, B = {y} {\ displaystyle B = \ {y \}} , Безліч f - 1 ({y}) = {x: f (x) = y} {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \}) = \ {x \ colon f (x) = y \ }} має більш просте позначення f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)} .

Тотожне відображення [ правити | правити код ]

Відображення, у яких збігаються область завдання і область значень, називаються відображеннями заданої множини в себе або перетвореннями.

Зокрема, перетворення f: X → X {\ displaystyle f \ colon X \ to X} Зокрема, перетворення f: X → X {\ displaystyle f \ colon X \ to X}   , Яке зіставляє кожній точці x {\ displaystyle x}   безлічі X {\ displaystyle X}   її саму або, що те ж саме, , Яке зіставляє кожній точці x {\ displaystyle x} безлічі X {\ displaystyle X} її саму або, що те ж саме,

f (x) = x {\ displaystyle f (x) = x} f (x) = x {\ displaystyle f (x) = x}   для кожного x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}   , Називається тотожним для кожного x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} , Називається тотожним.

Це відображення має спеціальне позначення: i d X {\ displaystyle id_ {X}} Це відображення має спеціальне позначення: i d X {\ displaystyle id_ {X}}   або, простіше, i d {\ displaystyle id}   (Якщо з контексту зрозуміло, яке безліч мається на увазі) або, простіше, i d {\ displaystyle id} (Якщо з контексту зрозуміло, яке безліч мається на увазі). Таке позначення зобов'язане своїм походженням англ. слову identity ( «ідентичність, тотожність»).

Інше позначення тотожного перетворення - 1 X {\ displaystyle 1_ {X}} Інше позначення тотожного перетворення - 1 X {\ displaystyle 1_ {X}} . Таке відображення є унарною операцією, заданої на множині X {\ displaystyle X} . Тому, нерідко, тотожне перетворення називають одиничним.

Композиція відображень [ правити | правити код ]

Нехай f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} Нехай f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y}   і g: Y → Z {\ displaystyle g \ colon Y \ to Z}   - два відображення, таких, що область значень першого відображення є підмножиною області завдання другого відображення і g: Y → Z {\ displaystyle g \ colon Y \ to Z} - два відображення, таких, що область значень першого відображення є підмножиною області завдання другого відображення. Тоді для будь-якого x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} однозначно визначається елемент y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y} такий, що y = f (x) {\ displaystyle y = f (x)} , Але для цього самого y {\ displaystyle y} однозначно визначається елемент z ∈ Z {\ displaystyle z \ in Z} такий, що z = g (y) {\ displaystyle z = g (y)} . Тобто, для будь-якого x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} однозначно визначається елемент z ∈ Z {\ displaystyle z \ in Z} такий, що z = g (f (x)) {\ displaystyle z = g (f (x))} . Іншими словами, поставлено відображення h {\ displaystyle h} таке, що

h (x) = g (f (x)) {\ displaystyle h (x) = g (f (x))} h (x) = g (f (x)) {\ displaystyle h (x) = g (f (x))}   для будь-якого x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} для будь-якого x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} .

Це відображення називається композицією відображень f {\ displaystyle f} Це відображення називається композицією відображень f {\ displaystyle f}   і g {\ displaystyle g}   , Воно позначається виразом g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f}   (Саме в такому порядку і g {\ displaystyle g} , Воно позначається виразом g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f} (Саме в такому порядку!), Яке читається g {\ displaystyle g} після f {\ displaystyle f} .

Зворотне відображення [ правити | правити код ]

Якщо відображення f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} Якщо відображення f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y}   є взаємно однозначним або   биективное   (Див є взаємно однозначним або биективное (Див. Нижче), то існує відображення f - 1: Y → X {\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon Y \ to X} , у якого

Відображення f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}} Відображення f - 1 {\ displaystyle f ^ {- 1}}   називається зворотним по відношенню до відображення f {\ displaystyle f} називається зворотним по відношенню до відображення f {\ displaystyle f} .

Відображення, у якого існує зворотне, називається оборотним.

У термінах композиції відображень, властивість оборотності полягає в одночасному виконанні двох умов: f - 1 ∘ f = i d X {\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}} У термінах композиції відображень, властивість оборотності полягає в одночасному виконанні двох умов: f - 1 ∘ f = i d X {\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}}   і f ∘ f - 1 = i d Y {\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = id_ {Y}} і f ∘ f - 1 = i d Y {\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = id_ {Y}} .

Властивості образів і прообразів [ правити | правити код ]

Властивості образів [ правити | правити код ]

Нехай A {\ displaystyle A} Нехай A {\ displaystyle A}   і B {\ displaystyle B}   - підмножини області завдання функції f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} і B {\ displaystyle B} - підмножини області завдання функції f: X → Y {\ displaystyle f \ colon X \ to Y} . Тоді образи множин A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} , При відображенні f {\ displaystyle f} , Мають такі властивості:

Останні дві властивості допускають узагальнення на будь-яку кількість множин.

Властивості прообразів [ правити | правити код ]

Покладемо, A {\ displaystyle A} Покладемо, A {\ displaystyle A}   і B {\ displaystyle B}   - підмножини множини Y {\ displaystyle Y} і B {\ displaystyle B} - підмножини множини Y {\ displaystyle Y} .

Прообрази множин A {\ displaystyle A} Прообрази множин A {\ displaystyle A}   і B {\ displaystyle B}   , При відображенні f {\ displaystyle f}   , Володіє наступними двома очевидними властивостями: і B {\ displaystyle B} , При відображенні f {\ displaystyle f} , Володіє наступними двома очевидними властивостями:

Дані властивості допускають узагальнення на будь-яку кількість множин.

Якщо відображення оборотно (див. нижче ), Прообраз кожної точки області значень одноточковий, тому для оборотних відображень виконується наступне посилене властивість для перетинів:

Поведінка функцій [ правити | правити код ]

Сюр'ектівность [ правити | правити код ]

Функція f {\ displaystyle f} Функція f {\ displaystyle f}   називається сюр'ектівной (або, коротко, f {\ displaystyle f}   - сюр'єкція), якщо кожному елементу множини Y {\ displaystyle Y}   може бути зіставлений хоча б один елемент множини X {\ displaystyle X} називається сюр'ектівной (або, коротко, f {\ displaystyle f} - сюр'єкція), якщо кожному елементу множини Y {\ displaystyle Y} може бути зіставлений хоча б один елемент множини X {\ displaystyle X} . Тобто, функція f {\ displaystyle f} сюр'ектівна, якщо образ безлічі X {\ displaystyle X} при відображенні збігається з безліччю Y {\ displaystyle Y} : F (X) = Y {\ displaystyle f (X) = Y} .

Таке відображення називається ще відображенням безлічі X {\ displaystyle X} Таке відображення називається ще відображенням безлічі X {\ displaystyle X}   на безліч Y {\ displaystyle Y} на безліч Y {\ displaystyle Y} .

Іншими словами, при сюр'єкція не буває так, щоб якийсь елемент Y {\ displaystyle Y} Іншими словами, при сюр'єкція не буває так, щоб якийсь елемент Y {\ displaystyle Y}   не мав прообразу не мав прообразу.

Якщо умова сюр'ектівності порушується, то таке відображення називають відображенням безлічі X {\ displaystyle X} Якщо умова сюр'ектівності порушується, то таке відображення називають відображенням безлічі X {\ displaystyle X}   в безліч Y {\ displaystyle Y} в безліч Y {\ displaystyle Y} .

ін'єкційних [ правити | правити код ]

Функція f {\ displaystyle f} Функція f {\ displaystyle f}   називається ін'єкційних (або, коротко, f {\ displaystyle f}   - ін'єкція), якщо будь-яким двом різним елементам з безлічі X {\ displaystyle X}   зіставляються різні елементи з множини Y {\ displaystyle Y} називається ін'єкційних (або, коротко, f {\ displaystyle f} - ін'єкція), якщо будь-яким двом різним елементам з безлічі X {\ displaystyle X} зіставляються різні елементи з множини Y {\ displaystyle Y} . Більш формально, функція f {\ displaystyle f} ін'єкційних, якщо для будь-яких двох елементів x 1, x 2 ∈ X {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in X} таких, що f (x 1) = f (x 2) {\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})} , Випливає, що x 1 = x 2 {\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}} .

Іншими словами, при ін'єкції не буває так, щоб два або більше різних елементів з безлічі X {\ displaystyle X} Іншими словами, при ін'єкції не буває так, щоб два або більше різних елементів з безлічі X {\ displaystyle X}   відображалися в один і той же елемент з Y {\ displaystyle Y} відображалися в один і той же елемент з Y {\ displaystyle Y} .

биективное [ правити | правити код ]

Якщо функція є і сюр'ектівной, і ін'єкційних, то таку функцію називають биективное або взаємно однозначною.

Зростання і спадання [ правити | правити код ]

Нехай дана функція f: M ⊂ R → R. {\ Displaystyle f \ colon M \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}.} Нехай дана функція f: M ⊂ R → R тоді

∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) ≥ f (y); {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ geq f (y);} ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) ≥ f (y);  {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ geq f (y);}   ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x)> f (y);  {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x)> f (y);}   ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) ≤ f (y);  {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ leq f (y);}   ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) <f (y) ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x)> f (y); {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x)> f (y);} ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) ≤ f (y); {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ leq f (y);} ∀ x, y ∈ M, x> y ⇒ f (x) <f (y). {\ Displaystyle \ forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) <f (y).}

Незростаюча і неубутних функції називаються монотонними.

Зростаючі і спадні функції називаються строго монотонними.

періодичність [ правити | правити код ]

Функція f: M → N {\ displaystyle f \ colon M \ to N} Функція f: M → N {\ displaystyle f \ colon M \ to N}   називається періодичною з періодом T ≠ 0 {\ displaystyle T \ not = 0}   , Якщо виконується рівність називається періодичною з періодом T ≠ 0 {\ displaystyle T \ not = 0} , Якщо виконується рівність

f (x + T) = f (x), ∀ x ∈ M {\ displaystyle f (x + T) = f (x), \ quad \ forall x \ in M} f (x + T) = f (x), ∀ x ∈ M {\ displaystyle f (x + T) = f (x), \ quad \ forall x \ in M} .

Если це Рівність не виконана ні для якого T ∈ M, T ≠ 0 {\ displaystyle T \ in M, \, T \ not = 0} Если це   Рівність   не виконана ні для якого T ∈ M, T ≠ 0 {\ displaystyle T \ in M, \, T \ not = 0}   , То функція f {\ displaystyle f}   називається апериодической , То функція f {\ displaystyle f} називається апериодической.

парність [ правити | правити код ]

f (- x) = - f (x), ∀ x ∈ X. {\ Displaystyle f (-x) = - f (x), \ quad \ forall x \ in X.} f (- x) = - f (x), ∀ x ∈ X f (- x) = f (x), ∀ x ∈ X. {\ Displaystyle f (-x) = f (x), \ quad \ forall x \ in X.}

Екстремуми функції [ правити | правити код ]

Нехай задана функція f: X → R, {\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R},} Нехай задана функція f: X → R, {\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R},}   і x 0 ∈ X {\ displaystyle x_ {0} \ in X}   - внутрішня точка області завдання f і x 0 ∈ X {\ displaystyle x_ {0} \ in X} - внутрішня точка області завдання f. {\ Displaystyle f.} тоді

Залежно від того, яка природа області завдання і області значень, розрізняють наступні випадки областей:

  1. абстрактні безлічі - безлічі без будь-якої додаткової структури;
  2. безлічі, які наділені певною структурою.

У разі 1 розглядаються відображення в найзагальнішому вигляді і вирішуються найбільш загальні питання. Таким загальним питанням, наприклад, є питання про порівняння множин по потужності: якщо між двома множинами існує взаємно однозначне відображення (біекція), то два даних безлічі називають еквівалентними або рівнопотужними . Це дозволяє провести класифікацію множин у вигляді єдиної шкали, початковий фрагмент виглядає наступним чином:

Відповідно до цього, має сенс розглядати такі приклади відображень:

  • кінцеві функції - відображення кінцевих множин;
  • послідовності - відображення рахункового безлічі в довільне безліч;
  • контінуальниє функції - відображення незліченну множин в кінцеві, рахункові або незліченні безлічі.

У разі 2, основний об'єкт розгляду - задана на безлічі структура (додаткові властивості елементів безлічі) і те, що відбувається з цією структурою при відображенні: якщо при взаємно однозначній відображенні зберігаються властивості заданої структури, то кажуть, що між двома структурами встановлений ізоморфізм . Таким чином, ізоморфні структури, задані в різних множинах, неможливо розрізнити, тому в математиці прийнято говорити, що дана структура розглядається «з точністю до ізоморфізму ».

Існує велика різноманітність структур, які можуть бути задані на множинах. Сюди належить:

  • структура порядку - частковий або лінійний порядок елементів множини;
  • алгебраїчна структура - группоід , півгрупа , група , кільце , Тіло , Область цілісності або поле , Задані на елементах безлічі;
  • структура метричного простору - на елементах безлічі задається функція відстані ;
  • структура евклідового простору - на елементах безлічі задається скалярний добуток ;
  • структура топологічного простору - на безлічі задається сукупність «відкритих множин»;
  • структура вимірного простору - на безлічі задається сигма-алгебра підмножин вихідного безлічі (наприклад, за допомогою завдання заходь з даної сигма-алгеброю в якості області завдання функції)

Функції з конкретним властивістю можуть не існувати на множинах, що не володіють відповідною структурою. Наприклад, формулювання властивості безперервності функції, заданої на множині, вимагає завдання на цій множині топологічної структури.

Частково певні функції [ правити | правити код ]

Частково певна функція f {\ displaystyle f} Частково певна функція f {\ displaystyle f}   з безлічі X {\ displaystyle X}   в безліч Y {\ displaystyle Y}   є функція f: X '→ Y {\ displaystyle f \ colon X' \ to Y}   з областю завдання X '= D omf ⊂ X {\ displaystyle X' = {\ rm {Dom}} f \ subset X} з безлічі X {\ displaystyle X} в безліч Y {\ displaystyle Y} є функція f: X '→ Y {\ displaystyle f \ colon X' \ to Y} з областю завдання X '= D omf ⊂ X {\ displaystyle X' = {\ rm {Dom}} f \ subset X} .

Деякі автори розуміють під функцією частково певну функцію. Це має свої переваги, наприклад, можлива запис f: R → R {\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} Деякі автори розуміють під функцією частково певну функцію , Де f (x) = 1 / x {\ displaystyle f (x) = 1 / x} в цьому випадку D om ⁡ f = R ∖ {0} {\ displaystyle \ mathop {\ rm {Dom}} f = \ mathbb {R} \ backslash \ {0 \}} .

Багатозначні функції [ правити | правити код ]

В силу визначення функції, заданому значенню аргументу відповідає рівно одне значення функції. Незважаючи на це, нерідко можна почути про так звані багатозначні функції . Насправді, це не більше ніж зручне позначення функції, область значень якої сама є сімейством множин.

Нехай f: X → B {\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {B}} Нехай f: X → B {\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {B}}   , Де B {\ displaystyle \ mathbb {B}}   - сімейство підмножин безлічі Y {\ displaystyle Y} , Де B {\ displaystyle \ mathbb {B}} - сімейство підмножин безлічі Y {\ displaystyle Y} . Тоді f (x) {\ displaystyle f (x)} буде безліччю для всякого x ∈ X {\ displaystyle x \ in X} .

Функція однозначна, якщо кожному значенню аргументу відповідає єдине значення функції. Функція багатозначна, якщо хоча б одному значенню аргументу відповідає два або більше значень функції [7] .

  1. 1 2 3 4 В. А. Зорич . Глава I. Деякі общематематических поняття і позначення. § 3. Функція // Математичний аналіз. Частина I. - четверте, виправлене. - М.: МЦНМО, 2002. - С. 13, 22, 25, 31. - 664 с. - ISBN 5-94057-056-9 .
  2. 1 2 Колмогоров А. Н. , Абрамов А. М. , Дудніцин Ю. П. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів середньої школи. - М., Просвітництво, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 86-87
  3. 1 2 3 Г. Є. Шилов . Глава 2. Елементи теорії множин. § 2.8. Загальне поняття функції. Графік // Математичний аналіз (функції одного змінного). - М.: Наука, 1969. - С. 69. - 528 с.
  4. А. Н. Колмогоров , С. В. Фомін . Глава 1. Елементи теорії множин // Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - 3-е изд. - М.: Наука, 1972. - С. 14-18. - 496 с.
  5. В. А. Ільїн , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сенді . Глава 3. Теорія меж // математичний аналіз / Под ред. А. Н. Тихонова . - 3-е изд. , Перераб. и доп. - М.: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 105-121. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7 .
  6. В. А. Садовничий . Теорія операторів. - М.: Дрофа, 2001. - С. 241. - 381 с. - ISBN 5-71-074297-X .
  7. Г. Корн, Т. Корн. Довідник з математики. Для науковців і інженерів. М., 1973 г. Глава 4. Функції та межі, диференціальне та інтегральне числення. 4.2. Функції. 4.2-2. Функції зі спеціальними властивостями. (А), стор.99.