Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень)

1. Рішення задачі 19 з профільного ЄДІ з математики під літерою А
2. Відповідь на питання під літерою Б з завдання 19 ЄДІ з математики (профільний рівень)
3. Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) під літерою В

У даній статті мова піде про рішення задачі 19 з варіанту дострокового профільного ЄДІ з математики, що пропонувався для вирішення школярам в 2016 році. Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) традиційно викликає найбільші труднощі у випускників, адже це остання, а тому зазвичай найскладніше завдання з іспиту. Принаймні, таке враження часто складається в умах школярів, які готуються до ЄДІ. Але насправді нічого дуже складного в цих завданнях немає. Подивіться, наприклад, як легко вирішується наступне завдання 19 з профільного ЄДІ з математики.

Нехай безліч називається хорошим, якщо існує можливість розбити це безліч на дві підмножини, суми елементів в яких однакові.

а) чи є хорошим безліч {200; 201; 202; ...; 299}?

б) чи є хорошим безліч {2; 4; 8; ...; 2100}?

в) яке число хороших четирёхелементних підмножин у безлічі

{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Чи не дивуйтеся терміна «хороше» безліч. Це типово для укладачів варіантів ЄДІ з математики. Коли не вистачає слів, доводиться використовувати слова не по їх прямому призначенню.

Рішення задачі 19 з профільного ЄДІ з математики під літерою А

Перейдемо до вирішення. Відповідаємо на запитання під літерою А. Є записане безліч хорошим? Припустимо, що так. Якщо це дійсно так, то це найпростіший випадок для нас. Адже в цьому випадку потрібно лише навести приклад розбиття цієї множини на два безлічі, суми елементів яких однакові. В іншому випадку довелося б доводити принципову неможливість потрібного розбиття. А це вже набагато складніше. Ну а оскільки це лише завдання під літерою А, можна сподіватися, що воно досить просте. Отже, спробуємо розбити наше безліч на дві підмножини, суми елементів в яких будуть однакові.

На щастя, щоб це зробити, не потрібно бути Ейнштейном. Беремо найочевидніше і інтуїтивне рішення. Групуємо елементи початкової множини в пари: перший з останнім, другий з передостаннім і так далі:

Остання парочка буде складатися з двох чисел: 249 і 250. Всього таких парочок вийде 50. Сума чисел в кожній парочці дорівнює 499. А далі беріть будь-які 25 парочок на початку безліч, інші 25 - у другу безліч, і отримаєте необхідну розбиття. Отже, відповідь на питання під літерою А - так!

Відповідь на питання під літерою Б з завдання 19 ЄДІ з математики (профільний рівень)

Переходимо до питання під літерою Б. Завдання те ж саме, тільки безліч іншого. Тому здається, що автори-упорядники мали тут проявити оригінальність. Так що, швидше за все, це безліч вже не буде хорошим. Якщо це так, то просто прикладом в даному випадку обмежитися не вийде, доведеться все доводити. Ну що ж, спробуємо.

Взагалі кажучи, якщо вдуматися в завдання, то рішення приходить само собою. Нам потрібно розбити дане безліч на дві підмножини, суми елементів в кожному з яких дорівнюють. Ну і, загалом, тут не потрібно бути Стівіном Хокінг, щоб зрозуміти, що ключ до вирішення в тому, щоб знайти, чому повинні бути рівні ці суми! А для цього потрібно порахувати суму елементів нашого вихідного безлічі.

Подивіться уважно. Перед нами класична геометрична прогресія зі знаменником, першим членом і елементами. Сума всіх елементів такої прогресії визначається за відомою формулою:

Це означає, що якщо б ми розбили наш безліч на дві підмножини з однаковою сумою елементів в кожному з них, то ця сума виявилася б рівною. А це непарне число! Але ж всі елементи нашого безлічі - це ступеня двійки, тобто числа безумовно парні. Питання. Чи може вийти непарне число, якщо складати парні числа? Звичайно, ні. Тобто ми довели неможливість такого розбиття. Отже, відповідь на питання під літерою Б з рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) - немає!

Рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень) під літерою В

Ну і нарешті, переходимо до питання під літерою В. Скільки ж четирёхелементних хороших безлічі міститься в множині {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Так ... Тут вже доведеться задуматися більш серйозно. Ну звичайно! Адже це останнє, як кажуть деякі відеоблогери, саме жорстке завдання в профільному ЄДІ з математики. Так як же його вирішити?

Чи доводилося вам коли-небудь чути про усвідомлене переборі? Цей метод застосовується тоді, коли можливих варіант не дуже багато. Але при цьому варіанти перебираються не абияк, а в певній послідовності. Це потрібно для того, щоб не випустити з уваги жодного можливого варіанту. Плюс, по можливості, при переборі виключаються з розгляду неможливі варіанти. Отже, як же нам звести це завдання до усвідомленого перебору?

Введемо фільтр, що обмежує перебір:

• Зауважимо відразу, що суми шуканих хороших четирёхелементних підмножин повинні бути парними, інакше їх не можна розбити на підмножини з однаковими сумами елементами. При цьому мінімально можлива сума дорівнює 1 + 2 + 4 + 5 = 12, а максимально можлива сума дорівнює 5 + 7 + 9 + 11 = 32. Таких сум 11 штук.
• Приймемо також до уваги, що парні числа 2 і 4 повинні або одночасно входити в хороше четирёхелементное безліч, або одночасно не входити в нього. В іншому випадку тільки одне з чисел четирёхелементного безлічі парне, тому сума елементів такого множини не буде парною.
• Оскільки порядок розташування елементів у шуканих хороших четирёхелементних множини не важливий, домовимося, що елементи в цих множинах будуть у нас розташовані по зростанню.

Розглядаємо всі можливі суми:

1. Сума 12: {1; 2; 4; 5}.
2. Сума 14: {1; 2; 4; 7}.
3. Сума 16: немає варіантів.
4. Сума 18: {2; 4; 5; 7}.
5. Сума 20: немає варіантів.
6. Сума 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
7. Сума 24: {1; 5; 7; 11}.
8. Сума 26: {2; 4; 9; 11}.
9. Сума 28: немає варіантів.
10. Сума 30: немає варіантів.
11. Сума 32: {5; 7; 9; 11}.

Ось і вийшло у нас всього 8 множин. Інших варіантів немає. Тобто відповідь до завдання під літерою В - 8.

Ось таке рішення задачі 19 з ЄДІ з математики (профільний рівень). Для тих, хто тільки починає готуватися до здачі профільного ЄДІ з математики, воно можна здатися складним. Але насправді для вирішення таких завдань потрібно використання одних і тих же способів і прийомів. Потрібно тільки опанувати ними, і всі ці завдання будуть здаватися вам простими, і ви їх вирішите на іспиті без всяких проблем. Я вас міг цього навчити. Детальну інформацію про мене і моїх заняттях ви можете знайти на цій сторінці .

матеріал підготував репетитор з математики і фізики , Сергій Валерійович

Якщо вам сподобалася стаття, можливо, вам також буде цікава наступна: