WikiZero - Другий закон Ньютона

1. Другий закон Ньютона в класичній механіці [ правити | правити код ]
2. Область застосування закону [ правити | правити код ]
3. Логічна роль другого закону Ньютона [ правити | правити код ]
4. Запис закону в різних системах координат [ правити | правити код ]
5. Другий закон за межами класичної механіки [ правити | правити код ]
6. У квантовій механіці [ правити | правити код ]
7. Науково-історичне значення закону [ правити | правити код ]
8. Лагранжевого і гамільтонових узагальнення закону [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

Другий закон Ньютона - диференційний закон механічного руху , Що описує залежність прискорення тіла від рівнодіюча всіх прикладених до тіла сил і маси тіла. Один з трьох законів Ньютона . Основний Закон динаміки [1] [2] [3] .

Об'єктом (тілом), про який йде мова в другому законі Ньютона, є матеріальна точка , Що володіє невід'ємним властивістю - інерцією [4] , Величина якої характеризується масою . В класичної (ньютонівської) механіки маса матеріальної точки покладається постійною в часі і не залежить від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами [5] [6] [7] [8] .

Другий закон Ньютона в його найбільш поширеною формулюванні, справедливою для швидкостей , Багато менших швидкості світла , Стверджує: в інерційних системах відліку прискорення, що купується матеріальною точкою, прямо пропорційно викликає його силі, не залежить від її природи [9] , Збігається з нею у напрямку і Обернено пропорційно масі матеріальної точки [10] .

Другий закон Ньютона в класичній механіці [ правити | правити код ]

Можливі формулювання [ правити | правити код ]

Зміна кількості руху пропорційно прикладеній рушійну силу і відбувається по напрямку тієї прямої, по якій ця сила діє.

• Сучасна формулювання:

У інерційних системах відліку прискорення, що купується матеріальною точкою, прямо пропорційно викликає його силі, збігається з нею у напрямку і Обернено пропорційно масі матеріальної точки.

Зазвичай цей закон записується у вигляді формули a → = F → m, {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {\ vec {F}} {m}},} де a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} - прискорення тіла, F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} - сила , Прикладена до тіла, а m {\ displaystyle \ m} - маса тіла. Або в іншому вигляді: m a → = F → {\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}}

• Формулювання другого закону Ньютона з використанням поняття імпульсу :

У інерційних системах відліку похідна імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює діючій на неї силі [12] :

d p ​​→ d t = F →, {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} = {\ vec {F}},} де p → = m v → {\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}} - імпульс (Кількість руху) точки, v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} - її швидкість , А t {\ displaystyle t} - час .

Область застосування закону [ правити | правити код ]

Другий закон Ньютона в класичній механіці сформульований стосовно руху матеріальної точки. Передбачається, що маса матеріальної точки незмінна в часі [13] [14] [15] . Рівняння, відповідні до даного закону, називаються рівняннями руху матеріальної точки або основними рівняннями динаміки матеріальної точки .

Іноді в рамках класичної механіки були спроби поширити сферу застосування рівняння d p → / d t = F → {\ displaystyle d {\ vec {p}} / dt = {\ vec {F}}} і на випадок тіл змінної маси. Однак разом з таким розширювальним тлумаченням рівняння доводилося істотно модифікувати прийняті раніше визначення і змінювати зміст таких фундаментальних понять, як матеріальна точка, імпульс і сила [16] [17] .

У разі, коли на матеріальну точку діє декілька сил, кожна з них повідомляє точці прискорення, яке визначається другим законом Ньютона так, як якщо б інших сил не було (принцип незалежності дії сил). Тому результуюче прискорення матеріальної точки можна визначити за другим законом Ньютона, підставивши в нього рівнодіюча силу [18] .

Рівняння другого закону Ньютона F → = m a → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} передбачає скалярную адитивність мас [19] .

Крім матеріальної точки, рівняння другого закону Ньютона можна застосувати також для опису механічного руху центру мас механічної системи. Центр мас рухається, як матеріальна точка, яка має масу, рівну масі всієї системи, і яка перебуває під дією всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи ( теорема про рух центру мас системи ).

Другий закон Ньютона виконується тільки в інерційних системах відліку [20] [21] . Проте, додаючи до сил, що діють з боку інших тіл, сили інерції , Для опису руху в неінерційній системах відліку можна користуватися рівнянням другого закону Ньютона [22] . У такому випадку для неінерціальної системи відліку рівняння руху записується в тій же формі, що і для інерційної системи: маса тіла, помножена на його прискорення щодо неінерціальної системи відліку, дорівнює за величиною і напрямком рівнодіюча всіх сил, включаючи і сили інерції, прикладені до тіла [23] [24] .

Логічна роль другого закону Ньютона [ правити | правити код ]

У ньютоновском викладі класичної механіки закони Ньютона нізвідки не «виводяться», вони мають статус аксіом , Що базуються на сукупності експериментальних фактів. Як і аксіоми математики, аксіоми ньютонівської динаміки можна сформулювати трохи по-різному.

Сила F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} у другому законі Ньютона залежить тільки від координат x → {\ displaystyle {\ vec {x}}} і швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} матеріальної точки: p → ˙ = F → (x →, v →) {\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {F}} ({\ vec {x}}, {\ vec {v}})} . Основне завдання фізичної механіки зводиться до знаходження функції F → (x →, v →) {\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {x}}, {\ vec {v}})} [25] .

Рівняння другого закону Ньютона F → = m a → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} інваріантної щодо перетворень Галілея . Це твердження називається принципом відносності Галілея . [26]

У класичній механіці закон збереження енергії , Закон збереження імпульсу і закон збереження моменту імпульсу є наслідками другого закону Ньютона, однорідності часу, однорідності і ізотропності простору, а також деяких припущень щодо характеру діючих сил [27]

При одному підході другий закон Ньютона позиціонується як експериментально перевіряється твердження про пропорційність прискорення викликає його силі і, одночасно, визначення інертною маси тіла через ставлення величин сили і прискорення [28] [29] . Тоді основна ідея другого закону полягає в декларації лінійності співвідношення «сила-прискорення», тобто що саме ці величини (а не, скажімо, сила і швидкість) і саме таким чином (а не квадратичного і т. П.) Пов'язані між собою.

При іншому підході можна ввести інертну масу незалежно від другого закону Ньютона, через масу певного тіла, прийнятого за еталон. Тоді другий закон містить два незалежно експериментально перевіряються твердження: про пропорційність прискорення силі і зворотної пропорційності масі [30] .

Рівняння другого закону Ньютона F → = m a → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} розглядається як рівняння зв'язку між фізичними величинами при визначенні одиниць сили в системах СІ , СГС та інших [31] . Одиниця сили визначається як така сила, яка матеріальної точки з масою, що дорівнює одиниці маси, прийнятої в якості основної, повідомляє прискорення, рівне одиниці прискорення, певної раніше в якості похідної одиниці [32] . (При незалежному виборі одиниць маси, сили і прискорення вираз другого закону потрібно писати у вигляді m a → = k F → {\ displaystyle m {\ vec {a}} = k {\ vec {F}}} , Де k {\ displaystyle k} - коефіцієнт пропорційності, який визначається вибором одиниць вимірювання [33] [34] [35] [36] ).

У багатьох практичних і навчальних завданнях другої закон Ньютона дозволяє обчислювати силу . Але цей закон не є дефініцією сили [37] (Вислів типу «за визначенням, сила є добуток маси на прискорення» недоречно), інакше він перетворився б на тавтологію.

У разі відсутності впливу на тіло з боку інших тіл (F → = 0 {\ displaystyle {\ vec {F}} = 0} ), З другого закону Ньютона випливає, що прискорення тіла дорівнює нулю. Звідси може здатися, що перший закон Ньютона входить у другій як його окремий випадок. Однак, це не так, оскільки саме першим законом постулюється існування інерційних систем відліку, що є самостійним змістовним твердженням. Відповідно, перший закон Ньютона формулюється незалежно від другого [38] .

Формула другого закону Ньютона a → = F → / m {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {F}} / m} висловлює принцип причинності класичної механіки. Координати і швидкості матеріальної точки в момент часу t + Δ t {\ displaystyle t + \ Delta t} (Де Δ t → 0 {\ displaystyle \ Delta t \ to 0} ) У безперервний спосіб і однозначно визначаються через їх значення в момент часу t {\ displaystyle t} і задану силу F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} , Що діє на матеріальну точку. розкладаючи в ряд Тейлора і обмежуючись малими першого порядку по t {\ displaystyle t} , отримуємо [39] : R → (t + Δ t) = r → (t) + v → Δ t {\ displaystyle {\ vec {r}} (t + \ Delta t) = {\ vec {r}} (t) + {\ vec {v}} \ Delta t} , V → (t + Δ t) = v → (t) + a → Δ t {\ displaystyle {\ vec {v}} (t + \ Delta t) = {\ vec {v}} (t) + {\ vec {a}} \ Delta t} . Форма, в якій в механіці реалізується причинність, називається механістичним або лапласовскім детермінізмом [40] .

Другий закон Ньютона встановлює зв'язок між динамічними і кінематичними величинами [41] .

У разі, коли сила F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} постійна, інтегрування рівняння другого закону Ньютона d v → d t = F → m {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ frac {\ vec {F}} {m}}} в цьому випадку призводить до рівності v 2 → - v 1 → = F → m (t 2 - t 1) {\ displaystyle {\ vec {v_ {2}}} - {\ vec {v_ {1}}} = { \ frac {\ vec {F}} {m}} (t_ {2} -t_ {1})} . Це співвідношення показує, що під дією заданої сили F → ​​{\ displaystyle {\ vec {F}}} певне зміна швидкості Δ v → = v 2 → - v 1 → {\ displaystyle \ Delta {\ vec {v}} = {\ vec {v_ {2}}} - {\ vec {v_ {1}}}} у тіла з більшою масою відбувається за більш тривалий проміжок часу. Тому кажуть, що всі тіла володіють інерцією, а масу m {\ displaystyle m} називають мірою інерції тіла [42] .

Запис закону в різних системах координат [ правити | правити код ]

Основне джерело: [18]

Векторна запис другого закону Ньютона m a → = F → {\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}} вірна для будь-якої інерціальнійсистеми координат, щодо якої визначаються що входять до цей закон величини (сила, маса, прискорення) [43] . Однак, розкладання на компоненти (проекції) буде різним для декартовой, циліндричної і сферичної систем. Інтерес також представляє розкладання на нормальну і тангенціальну складові.

m x ¨ = F x {\ displaystyle m {\ ddot {x}} = F_ {x}} , M y ¨ = F y {\ displaystyle m {\ ddot {y}} = F_ {y}} , M z ¨ = F z {\ displaystyle m {\ ddot {z}} = F_ {z}} , Де F → = F xi → + F yj → + F zk → {\ displaystyle {\ vec {F}} = F_ {x} {\ vec {i}} + F_ {y} {\ vec {j}} + F_ {z} {\ vec {k}}} , а орт декартової системи i → {\ displaystyle {\ vec {i}}} , J → {\ displaystyle {\ vec {j}}} , K → {\ displaystyle {\ vec {k}}} спрямовані по осях координат (в сторону зростання конкретної координати),

m (ρ ¨ - ρ φ ˙ 2) = F ρ {\ displaystyle m ({\ ddot {\ rho}} - \ rho {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) = F _ {\ rho}} , M (ρ φ ¨ - 2 ρ ˙ φ ˙) = F φ {\ displaystyle m (\ rho {\ ddot {\ varphi}} - 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ varphi}}) = F _ {\ varphi}} , M z ¨ = F z {\ displaystyle m {\ ddot {z}} = F_ {z}} , Де F → = F ρ e → ρ + F φ e → φ + F ze → z {\ displaystyle {\ vec {F}} = F _ {\ rho} {\ vec {e}} _ {\ rho} + F _ {\ varphi} {\ vec {e}} _ {\ varphi} + F_ {z} {\ vec {e}} _ {z}} , А орти e → ρ {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho}} , E → φ {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ varphi}} , E → z {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}} циліндричної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від осі z {\ displaystyle z} під 900 до неї, по колу в площині x y {\ displaystyle xy} з центром на осі, і вздовж z {\ displaystyle z} (В сторону зростання конкретної координати),

m (r ¨ - r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ - r θ ˙ 2) = F r {\ displaystyle m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = F_ {r}} , M ([r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙] sin ⁡ θ + 2 r φ ˙ θ ˙ cos ⁡ θ) = F φ {\ displaystyle m ([r {\ ddot {\ varphi}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}}] \ sin \ theta + 2r {\ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) = F _ {\ varphi}} , M (2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ - r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ) = F θ {\ displaystyle m (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} + r {\ ddot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta) = F _ {\ theta}} , Де F → = F re → r + F φ e → φ + F θ e → θ {\ displaystyle {\ vec {F}} = F_ {r} {\ vec {e}} _ {r} + F_ { \ varphi} {\ vec {e}} _ {\ varphi} + F _ {\ theta} {\ vec {e}} _ {\ theta}} , А орти e → r {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {r}} , E → φ {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ varphi}} , E → θ {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}} сферичної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від центру O {\ displaystyle O} , По «паралелей», і по «меридіанах» (в бік зростання конкретної координати).

В дотичної площини прискорення a → = a n → + a t → {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a_ {n}}} + {\ vec {a_ {t}}}} матеріальної точки масою m {\ displaystyle m} і діє на неї силу F → = F n → + F t → {\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F_ {n}}} + {\ vec {F_ {t}}}} можна розкласти на нормальну (перпендикулярну дотичній до траєкторії в дотичної площині) F n → = m a n → {\ displaystyle {\ vec {F_ {n}}} = m {\ vec {a_ {n}}}} і тангенціальну (паралельну дотичній до траєкторії в дотичної площині) F t → = m a t → {\ displaystyle {\ vec {F_ {t}}} = m {\ vec {a_ {t}}}} складові.

Абсолютна величина нормальної сили дорівнює F n = m a n = m v 2 / R {\ displaystyle F_ {n} = ma_ {n} = mv ^ {2} / R} , Де R {\ displaystyle R} - радіус кривизни траєкторії матеріальної точки, v {\ displaystyle v} - абсолютна величина її швидкості. Нормальна сила спрямована до центру кривизни траєкторії матеріальної точки. У разі кругової траєкторії радіуса R {\ displaystyle R} абсолютна величина нормальної сили F n = m ω 2 R {\ displaystyle F_ {n} = m \ omega ^ {2} R} , Де ω {\ displaystyle \ omega} - кутова швидкість обігу точки. Нормальну силу також називають центростремительной .

Тангенціальна складова сили дорівнює F t = m a t = m d 2 s d t 2 {\ displaystyle F_ {t} = ma_ {t} = m {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}}} , Де s = s (t) {\ displaystyle s = s (t)} - дугова координата по траєкторії точки [44] . Якщо d 2 s d t 2> 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}}> 0} , То сила F t → {\ displaystyle {\ vec {F_ {t}}}} збігається за напрямком з вектором швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} і її називають рушійною силою. Якщо d 2 s d t 2 <0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} <0} , То сила F t → {\ displaystyle {\ vec {F_ {t}}}} протилежна за напрямком вектору швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} і її називають гальмує силою.

Другий закон за межами класичної механіки [ правити | правити код ]

У релятивістської динаміці [ правити | правити код ]

Другий закон Ньютона у вигляді m a → = F → {\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}} наближено справедливий тільки для швидкостей , Багато менших швидкості світла , І в інерційних системах відліку .

У вигляді d p → d t = F → {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {p}}} {dt}} = {\ vec {F}}} другий закон Ньютона точно справедливий також в інерційних системах відліку спеціальної теорії відносності і в локально інерційних системах відліку загальної теорії відносності , Однак при цьому замість колишнього вираження для імпульсу використовується рівність p → = mv → 1 - v 2 c 2 {\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ frac {m {\ vec {v}}} {\ sqrt { 1 - {\ frac {\ displaystyle v ^ {2}} {\ displaystyle c ^ {2}}}}}}} , Де c {\ displaystyle c} - швидкість світла [45] .

Існує і чотиривимірний релятивістське узагальнення другого закону Ньютона. похідна четирёхімпульса P → {\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}} по власним часу τ {\ displaystyle \ tau} матеріальної точки дорівнює четирёхсіле Φ → {\ displaystyle {\ vec {\ Phi}}} [46] :

Φ → = d P → d τ {\ displaystyle {\ vec {\ Phi}} = {\ frac {d {\ vec {\ mathrm {P}}}} {d \ tau}}} .

У релятивістської динаміці вектор тривимірного прискорення a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} вже не паралельний вектору тривимірної сили F → ​​{\ displaystyle {\ vec {F}}} [47] .

У квантовій механіці [ правити | правити код ]

Закони ньютонівської динаміки, в тому числі другий закон Ньютона, незастосовні, якщо довжина хвилі де Бройля даного об'єкту порівнянна з характерними розмірами області, в якій вивчається його рух. В цьому випадку необхідно користуватися квантовомеханічними законами [48] .

Проте, другий закон Ньютона при певних умовах актуальний стосовно до руху хвильового пакета в квантовій механіці. Якщо потенційна енергія хвильового пакета дуже малий змінюється в області знаходження пакета, то похідна за часом середнього значення імпульсу пакета буде дорівнює силі, що розуміється як градієнт потенційної енергії , Узятий з оберненим знаком ( теорема еренфеста ).

Видозмінений другий закон Ньютона використовується і при квантовомеханічному описі руху електронів в кристалічній решітці. Взаємодія електрона з періодичним електромагнітним полем решітки при цьому враховується введенням поняття ефективної маси .

Науково-історичне значення закону [ правити | правити код ]

Оцінюючи значення другого закону Ньютона, А. Ейнштейн писав:

Всі закони природи для сил в залежності від властивостей тіл, їх станів і рухів виходять з дослідів і встановлюються завжди і тільки на основі рішення рівняння F → = ma → {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a} }} , Яке вживається для вираження сили [49] .

Лагранжевого і гамільтонових узагальнення закону [ правити | правити код ]

В аналітичній механіці існує два аксіоматичних підходу. При одному підході в якості аксіоми приймається другий закон Ньютона і з нього виводяться рівняння Лагранжа . При іншому підході в якості аксіоми приймаються рівняння Лагранжа. Тоді другий закон Ньютона розглядається як наслідок з них [50] .

з рівнянь Лагранжа для довільної голономних системи , На яку діють як потенційні (Q i p {\ displaystyle Q_ {i} ^ {p}} ), Так і непотенціальні (Q i n {\ displaystyle Q_ {i} ^ {n}} ) узагальнені сили , Ddt (∂ L ∂ q ˙ i) - ∂ L ∂ qi = Q in {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} = Q_ {i} ^ {n}} випливає, що похідна за часом узагальненого імпульсу p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}} дорівнює сумарній узагальненої силі Q i = Q ip + Q in = ∂ L ∂ qi + Q in {\ displaystyle Q_ {i} = Q_ {i} ^ {p} + Q_ {i} ^ {n} = {\ frac { \ partial L} {\ partial q_ {i}}} + Q_ {i} ^ {n}} :

p ˙ i = Q i {\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = Q_ {i}} .

Записані так в декартових координатах рівняння Лагранжа називаються рівняннями руху в формі Ньютона [51]

Теорема про зміну узагальненого імпульсу узагальнює і включає як окремі випадки теореми ньютонівської динаміки про зміну кількості руху і про зміну кінетичного моменту [52] .

В гамільтонової динаміці

p ˙ i = - ∂ H ∂ q i {\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial q_ {i}}}} ,

де, як і вище, p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}} - узагальнений імпульс, через H = Σ i = 1 spiq ˙ i - L {\ displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {s} p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} -L } позначена функція Гамільтона , А L = L (q i, q ˙ i, t) {\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)} - лагранжіан , Тобто різниця кінетичної і потенційної енергій системи.

1. ↑ Г. А. Бугаєнко, В. В. Маланін , В. І. Яковлєв Основи класичної механіки. - М., вища школа , 1999. - ISBN 5-06-003587-5 - Тираж 3000 екземплярів. - c. 43
2. ↑ Кузнецов Б. Г. Основні принципи фізики Ньютона // відп. ред. Григорян А. Т. , Полак Л. С. Нариси розвитку основних фізичних Ідей. - М., АН СРСР , 1959. - накладом 5000 прим. - с. 188;
3. ↑ Тарасов В. Н., Бояркіна І. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фісенко Н. І. Теоретична механіка. - М., ТрансЛит, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . - накладом 1000 екземплярів. - с. 249
4. ↑ Ті ж, что інертність. Див. інерція // фізична енциклопедія : [В 5 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - М .: Радянська енциклопедія, 1990. - Т. 2: Добротність - Магнітооптіка. - С. 146. - 704 с. - 100 000 прим. - ISBN 5-85270-061-4 .
5. ↑ "Додатковою характеристикою (в порівнянні з геометричними характеристиками) матеріальної точки є скалярна величина m - маса матеріальної точки, яка, взагалі кажучи, може бути як постійною, так і змінною величиною. ... У класичній ньютонівської механіці матеріальна точка зазвичай моделюється геометричній крапкою з властивою їй постійною масою) є мірою її інерції. " стр. 137 Сєдов Л. І. , Ципкин А. Г. Основи макроскопічних теорій гравітації і електромагнетизму. М: Наука, 1989.
6. ↑ Маркєєв А. П. Теоретична механіка. - М.: ЧеРо, 1999. - С. 87. - 572 с. «Маса матеріальної точки вважається постійною величиною, що не залежить від обставин руху».
7. ↑ Голубєв Ю. Ф. Основи теоретичної механіки. - М.: МГУ, 2000. - С. 160. - 720 с. - ISBN 5-211-04244-1 . «Аксіома 3.3.1. Маса матеріальної точки зберігає своє значення не тільки в часі, але і при будь-яких взаємодіях матеріальної точки з іншими матеріальними точками незалежно від їх числа і від природи взаємодій ».
8. ↑ Тарг С. М. Короткий курс теоретичної механіки. - М.: Вища школа, 1995. - С. 287. - 416 с. - ISBN 5-06-003117-9 . «У класичній механіці маса кожної точки або частки системи вважається при русі величиною постійною»
9. ↑ Бутиків Є.І., Биков А.А., Кондратьєв А.С. Фізика для вступників до вузів. - М .: Наука, 1982. - С.39.
10. ↑ Ландсберг Г. С. Елементарний підручник фізики. Том 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1975. - C. 107
11. ↑ Ісаак Ньютон. Математичні початки натуральної філософії. - М.: Наука, 1989. - С. 40. - 690 с. - ( «Класики науки»). - 5 000 прим. - ISBN 5-02-000747-1 .
12. ↑ Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. - М.: Фізматліт; вид-во МФТІ, 2005. - Т. I. Механіка. - С. 76. - 560 с. - ISBN 5-9221-0225-7 .
13. ↑ Маркєєв А. П. Теоретична механіка. - М.: ЧеРо, 1999. - С. 254. - 572 с. «... другий закон Ньютона справедливий тільки для точки постійного складу. Динаміка систем змінного складу вимагає особливого розгляду ».
14. ↑ Іродів І. Е. Основні закони механіки. - М.: Вища школа, 1985. - С. 41. - 248 с. «У ньютонівської механіці ... m = const і dp / dt = ma».
15. ↑ Kleppner D., Kolenkow RJ An Introduction to Mechanics . - McGraw-Hill, 1973. - P. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d / dt) (M v) = M (d v / dt) = M a».
16. ↑ Зоммерфельд А. Механіка = Sommerfeld A. Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944. - Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2001. - С. 45-46. - 368 с. - ISBN 5-93972-051-X .
17. ↑ Кільчевський Н. А. Курс теоретичної механіки. Том 1. - М .: Наука, 1977. 480 с.
18. ↑ 1 2 Яворський Б.М. , Детлаф А.А. , Лебедєв А.К. Довідник з фізики для інженерів та студентів вищих навчальних закладів. - М .: Онікс , 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6 . - Тираж 5 100 прим. - С. 38 - 39
19. ↑ Орір Дж. Фізика // М., Мир, 1981. - Тираж 75 000 екз. - Том 1. - с. 54
20. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики. Том 1. Механіка. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1987. - C. 118
21. ↑ Ландсберг Г. С. Елементарний підручник фізики. Том 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1975. - C. 289
22. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики. Том 1. Механіка. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1987. - C. 118-119
23. ↑ Ландсберг Г. С. Елементарний підручник фізики. Том 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1975. - C. 291
24. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики. Том 1. Механіка. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1987. - C. 119
25. ↑ Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. Механіка. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 екз. - с. 71-72
26. ↑ Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. Механіка. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 екз. - с. 94
27. ↑ Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. Механіка. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 екз. - с. 199
28. ↑ Ландсберг Г. С. Елементарний підручник фізики. Том 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1975. - C. 106
29. ↑ Хайкін С. Е. Фізичні основи механіки. - М .: Физматгиз, 1963. - C. 104
30. ↑ Бутиків Є.І., Биков А.А., Кондратьєв А.С. Фізика для вступників до вузів. - М .: Наука, 1982. - С. 30.
31. ↑ Г. Д. Бурдун, Б. Н. Марков Основи метрології. - М .: Видавництво стандартів, 1972. - Тираж 30 000 екз. - С. 49.
32. ↑ Сена Л. А. Одиниці фізичних величин і їх розмірності. - М .: наука , 1977. - С. 24.
33. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики / 2-е вид., Перераб. - М.: Наука, 1982. - Т. 1. Механіка. Молекулярна фізика. - С. 54. - 432 с.
34. ↑ Сена Л. А. Одиниці фізичних величин і їх розмірності . - М.: Наука, 1969. - С. 22. - 304 с.
35. ↑ Мултановскій В.В. Курс теоретичної фізики: Класична механіка. Основи спеціальної теорії відносності. Релятивістська механіка . - М.: Просвещение, 1988. - С. 73. - 304 с. - ISBN 5-09-000625-3 .
36. ↑ «Не слід змішувати поняття сили і твори маси на прискорення, з яким вона дорівнює» ( Фок В.А. Механіка. Рецензія на книгу: Л. Ландау та Л. П'ятигорський. Механіка. (Теоретична фізика під загальною редакцією проф. Л.Д. Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва - Ленінград, 1940 // УФН . - 1946. - Т. 28, вип. 2-3. - С. 377-383.).
37. ↑ Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекції з фізики. Том I. Сучасна наука про природу Закони механіки. - М .: Наука, 1978. - С. 209-210.
38. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики. Том 1. Механіка. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1987. - C. 54
39. ↑ Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекції з фізики. Том I. Сучасна наука про природу Закони механіки. - М .: Наука, 1978. - С. 164.
40. ↑ Бугаєнко Г. А., Маланін В. В. , Яковлєв В. І. Основи класичної механіки. - М .: Вища школа, 1999.. ISBN 5-06-003587-5 - Тираж 3 000 прим. - С. 47.
41. ↑ Селезньов Ю. А. Основи елементарної фізики. - М., Наука, 1966. - Тираж 100 000 прим. - с. 40
42. ↑ Жирнов Н. І. Класична механіка. - М., Просвітництво, 1980. - с. 34-35
43. ↑ Р. Неванлінни Простір, час і відносність. - М., Мир, 1966. - c. 202
44. ↑ Тарасов В. Н., Бояркіна І. В., Коваленко М. В. Теоретична механіка. - М., ТрансЛит, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8 . - с. 254
45. ↑ Савельєв І. В. Курс загальної фізики. Т. 1. Механіка. Молекулярна фізика. - М .: Наука, 1987. - С. 237.
46. ↑ Бугаєнко Г. А. , Маланін В. В. , Яковлєв В. І. Основи класичної механіки. - М .: Вища школа, 1999. - С. 347. - ISBN 5-06-003587-5
47. ↑ Кичкін І. С., Сівцев В. І. Шкільна фізика: другий закон Ньютона // Міжнародний журнал експериментального освіти. - 2016. № 3-2. - С. 194-197.
48. ↑ Бутиків Є.І., Биков А. А., Кондратьєв А. С. Фізика для вступників до вузів. - М .: Наука, 1982. - С. 544.
49. ↑ Сєдов Л.І. Методи подібності і розмірності в механіці. - М .: Гостехтеоріздат, 1954. - С. 21 - 28.
50. ↑ Айзерман М.А. Класична механіка. - М .: Наука, 1980. - Тираж 17 500 екз. - С. 164-165
51. ↑ Медведєв Б. В. Почала теоретичної фізики. Механіка, теорія поля, елементи квантової механіки. - М .: Физматлит, 2007. - ISBN 978-5-9221-0770-9 - С. 38.
52. ↑ Бугаєнко Г. А., Маланін В. В. , Яковлєв В. І. Основи класичної механіки. - М .: Вища школа, 1999. - С. 247. - ISBN 5-06-003587-5